| # | Kombinacija | Broj |
|---|
Svaki pojedinačni izvučeni broj je uniformno raspodeljen — broj 7 nema ništa što bi ga činilo verovatnijim od broja 33. Ali čim posmatraš zbir 7 izvučenih brojeva, na scenu stupa Centralna granična teorema (CGT): zbir više nezavisnih (ili skoro-nezavisnih) slučajnih veličina teži normalnoj — zvonastoj — raspodeli, bez obzira na to kako izgleda raspodela svakog pojedinačnog sabirka. Isti princip stoji iza Galton board-a (Doom Roll), grešaka merenja, pa čak i visine ljudi.
Za naš slučaj (biramo k=7 brojeva iz skupa 1–N=39, bez ponavljanja), očekivani zbir i njegovo rasipanje računaju se tačno, formulama za uzorkovanje bez vraćanja iz konačne populacije:
Prevedeno: prosek zbira je tačno 140 (tačno na sredini između minimuma 28 i maksimuma 252), a član (N−k)/(N−1) je tzv. finite population correction — korekcija zato što brojeve biramo bez ponavljanja, pa su malo "međusobno zavisni". Standardna devijacija σ≈27.3 govori da će otprilike 68% svih kombinacija imati zbir između 113 i 167 — a što je zbir dalje od 140, gustina opada eksponencijalno, po klasičnoj Gausovoj formuli:
Zato su kombinacije sa zbirom blizu 28 ili 252 praktično neviđene — postoji tačno jedna takva kombinacija (npr. {1,2,3,4,5,6,7}), naspram desetina hiljada koje daju zbir blizu 140. Isti "trik" može se primeniti i na bilo koju drugu statistiku koja je zbir nečega — broj parnih brojeva, zbir cifara, razmaci između brojeva — sve to, iz istog razloga, teži istom obliku.
Ovde ne gledamo pojedinačne kombinacije, nego koliko ih ima sa istim brojem pojavljivanja — npr. koliko kombinacija je izvučeno tačno 25 puta, koliko tačno 24 puta, itd.
| # | Izvučeno | Broj kombinacija |
|---|
Na početku (malo izvlačenja) špic grafikona je na x=1 i naglo pada — a što više izvlačiš, špic se pomera udesno i kriva postaje sve simetričnija, sve dok stvarno ne počne da liči na zvono. To nije slučajnost, nego ista Centralna granična teorema primenjena jedan sprat dublje.
Zamisli svih 15.380.937 mogućih kombinacija kao kutije, a svako izvlačenje kao loptu koju bacaš nasumično u jednu od njih. Broj pogodaka po kutiji prati Poissonovu raspodelu sa parametrom λ = n / M (n = broj izvlačenja, M = 15.380.937):
Dok je λ mali broj (malo izvlačenja), ova raspodela je zalepljena uz levu ivicu — ubedljivo najviše kutija ima tačno 1 pogodak, pa naglo pada na 2, 3... Ali kako n raste, raste i λ, a vrh Poissonove raspodele je otprilike na λ — zato se špic pomera udesno kako izvlačiš više. I tu je ključna stvar: Poissonova raspodela sa dovoljno velikim λ sama teži normalnoj (Poisson(λ) → Normal(λ, λ) kad λ→∞), jer se može gledati kao zbir λ nezavisnih Poisson(1) promenljivih — pa CGT opet radi svoje, samo na jednom apstraktnijem nivou.
Dakle nije slučajnost što "preti" da postane zvono — matematički je zagarantovano da hoće, čim λ postane dovoljno veliko (λ≈10–20 već daje solidnu bell krivu). Da λ stigne do 10, treba oko 150 miliona izvlačenja (n = λ × M) — sasvim izvodljivo sa brzinom koju ova stranica ima.